ev de dim finie

[jmW]

Voici des exercices que j'ai posés le lundi 17 mars :

Soit E un Kev de dim finie et f un endomorphisme de E. Montrer qu'il existe g un automorphisme de E et p un projecteur tel que f=gop.

Soit E un Kev de dim finie n. Soit f et g deux endomorphismes de E tels que f+g=Id et rg(f)+rg(g)<=n. Montrer que f et g sont des projecteurs.


N'hésitez pas à faire profiter vos camarades (et moi-même) des exercices qui vous ont été donnés...

[Julien C.]

Colle de mercredi avec M. Pointier :

1/ Soit E un kev de dim 3 et F = { f appartenant à L(E) / fof= l'application constament nulle)
Déterminer une condition sur f, puis traiter les différents cas pour dim Ker f

Solution :

Spoiler:

2/ Exercice pour comparer dimension infinie et dimension finie.
Soit Phi: C°(lR,lR) -> C°(lR,lR)
f -> Ide*f (l'application qui à x associe x*f(x))
Déterminer Ker Phi et Im Phi.

Solution :

Spoiler:

voilà cliquez sur Spoiler si vous voulez avoir la solution

[Hadrien De March]

(super approprié)

Alors un petit exercice très facile pour se mettre en bouche :

Soit E un Kev de dimension finie n.

Soit P € K[X] (un polynôme), on définit P : L(E) -> L(E) f -> P(f) par :

Quelque soit µ € K, k € N et f € L(E) , µX^k calculé en f = µf^k = x -> µ*fofo...of(x) (f composée k fois avec elle même).

(Par exemple si on applique X²-3X+2 à f € L(E), on obtiendra la fonction fof-3f+2IdE c'est à dire le fonction f²-3f+2f°).

Donc voici l'exercice :

1) Soit u € L(E), montrez qu'il existe un polynome P non nul tel que P(u) = Õ.

Spoiler:

2) Soit P ce polynome (P(u) = Õ), on suppose que P=P1xP2 avec P1=X+a1 et P2=X+a2, avec a1 différent de a2.
Montrez que E = Ker(u+a1*IdE) (+) Ker(u+a2*IdE).

Spoiler:

[Maxime]

Petit exercice que j'ai eu en colle avec M. Pointier:

Montrer que R, en tant que Q espace vectoriel, est de dimension infinie.
Pour cela, étudier la famille (ln(Pi)) pour i appartenant à N et où Pi désigne le ième nombre premier.

Rq: personne n'en a encore trouvé une base

[Hadrien De March]

Suite à une plainte quant à la réponse incomplète de l'exercice avec les polynomes d'applications linéaires, j'ai décidé de vous donner des éléments de réponse pour prouver que je ne suis pas un vicieux.

Spoiler:

[Hadrien De March]

Allez, même si vous n'avez pas que ça à faire je vous mets au défi de trouver. (Postez la réponse en réponse)

Si personne n'a répondu au boût d'un certain temps je mettrai la réponse.

En attendant pour ne pas que ça soit trop difficile j'ajoute un GROS indice en spoiler :

Spoiler:

[Hadrien De March]

Je suis un homme brisé. u_u

Grmbl... Vous avez ainsi décidé de ne pas répondre à mon appel.

C'est la fin...

................

Bon il se trouve que par malheur je n'arrive pas à me trancher les veines avec le dos du couteau (quoi ? utiliser l'autre côté ?? ça va pas ?! Je pourrais me blesser ! )

Eh bien voici la solution que vous attendiez tous....

Spoiler:

[Julien C.]

C'est moi ou tout le monde s'en fout ?


... !

[Hadrien De March]

Tout le monde a été passionné par cet exercice et ses multiples rebondissements. (Je le sais, j'ai suivi ça avec passion moi aussi.)



Petit exercice complémentaire : Soit E = Mpsi 2 un Kev de dimension finie. Soit g € L(E).

Montrez que g est bijective <=> Ker g = {Julien Christophe}

Spoiler:

[Jordan]

C'est n'importe quoi par ici
T'inquietes pas on essayera tes exercices pour te faire plaisir (peut être).

[Hadrien De March]

Ne t'inquiète pas je ne suis pas sérieux (jamais)

Enfin si vous cherchiez un peu mes exercices ça me ferait plaisir.

[Lehuby Noémie]

Bijection... euh, objection, je veux dire
Reste à montrer que {Julien Christophe} = {0E}, c'est-à-dire que pour tout élève x appartenant à la MPSI2, x + Julien Christophe = x
Reste donc à définir l'addition dans la MPSI2, parce que la relation n'est pas évidente
+ : discuter avec ? ; faire un devoir avec ? XD XD

Sinon, plus sérieus'ment, je veux bien un indice sur l'exo visant à montrer que R est de dim finie en tant que Qev ( celui avec Pi qui est un nombre premier XD)

[Hadrien De March]

C'est pas Julien Stéphane c'est Julien Christophe.

[Hadrien De March]

Quant au problème de R en temps que Q espace vectoriel, il ne faut pas montrer qu'il est de dimension finie, au contraire.

Pour ce faire il suffit de montrer que la famille des logaritmes de nombres premiers se trouve être une famille libre de R. (Et je rapelle qu'il est facile de montrer que l'on a une infinité de nombres premiers.)

[Lehuby Noémie]

Certes.
(5ème du nom ? pour un élément neutre, c'est fichtrement reproductif XD)

Merci bien, voilà une douce réflexion qui me bercera ce soir

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