Pour se détendre... (Détente exponentielle).

[Hadrien De March]

Petit exercice simplissime, pour s'amuser éventuellement.




1) Soit n € N*, montrez que exp(n) € R\Q.

Spoiler:

2) En déduire que quel que soit x € Q*, exp(x) € R\Q.

Spoiler:

[Hadrien De March]

Bon pardonnez-moi j'ai exagéré, constatant que des gens ont essayé je tenais à prévenir qu'il s'agit d'un exercice hors du niveau d'un simple math sup (il me semble).

C'était un piège.

Cependant il m'a été dit par Mr Wachter que cet exercie était résolvable par nous, petits faibles, à l'aide d'outils comme l'inégalité de Taylor-Lagrange (ou des suites adjacentes comme pour l'irrationnalité de e).

Alors si vous avez du temps à perdre essayez de trouver.

[MVMB]

Bon je vois que cet exercice a suscité beaucoup d'émoi donc je n'ai pas trop honte de dévoiler la solution...

En plus si vous la regardez jusqu'au bout vous aurez déjà eu beaucoup de courage !!!!!
L'overdose mathématique vous attend au bout du chemin
Venons-en à la démo (peut-être qu'il y a plus simple, et tant pis pour vous dans ce cas car vous n'avez pas cherché !!! C'est donc votre punition (la souffrance éternelle...)

Il convient d'abord de donner quelques résultats préliminaires :
On définit f : x->x^n*(1-x)^n/n!
*Il est évident que f peut s'écrire comme 1/n!*somme(n<=i<=2n)(c(i)*x^i) (a) où c(i) sont des coef entiers.

*De plus, pour 0<x<1, 0<f(x)<1/n! (b) (bon j'ai la flemme de le faire et vous comprendrez pourquoi, mais de toute façon si vous n'arrivez pas à le démontrer, arrêtez de lire ce post !!! )

*Un peu plus dur : les dérivées i-ièmes de f sont entières en 0 et 1 (pour tout i) :
-En 0 : En utilisant (a), on trouve : Si i<n ou i>2n, f(dérivée i)(0)=0.
Sinon, f(dérivée i)(0)=i!/n!*c(i), et comme i>=n, n! divise i!, donc i!/n!*c(i) est entier.

-En 1 : Petite astuce : pour tout x, f(x)=f(1-x). Donc pour tout i, (f(1-x))(dérivée i)=(-1)^i*f(dérivée i)(1-x)=f(dérivée i)(x).
En x=0, on obtient f(dérivée i)(1)=(-1)^i*f(dérivée i)(0), donc c'est entier.


On entre maintenant dans le vif du sujet !!!!!!!!
Soit s€N*. On suppose qu'ils existent a,b€N* tq e^s=a/b.
Soit n suffisamment grand pour que n!>a*s^(2n+1)
Soit F : x->s^(2n)f(x)-s^(2n-1)f'(x)+s^(2n-2)f''(x)-...+f(dérivée 2n)(x)
comme la f(dérivée >2n) est nulle, on peut écrire F comme une somme infinie
F(x)=s^(2n)f(x )-s^(2n-1)f'(x )+s^(2n-2)f''(x )-...+f(dérivée 2n)(x )-1/s f(dérivé
e 2n+1)...

On calcule F'(x)=s^(2n)f'(x)-s^(2n-1)f''(x)...+f(dérivée 2n+1)(x).
Bon comme on est astucieux ici on s'aperçoit que F'(x)=-s*F(x)-(-s*s^(2n)f(x)) (il n'y a pas de problème pour les termes finaux car ils sont nuls), d'où le résultat F'(x)=-s*F(x)+s^(2n+1)f(x) (1)
On définit maintenant g(x)=e^(sx)F(x) (vous ne rêvez pas, on se rapproche du sujet !!!!!)

On calcule g'(x)=s*e^(sx)F(x)+e^(sx)F'(x).
En injectant le résultat (1), on obtient g'(x)=s*e^(sx)F(x)+(-s*F(x)+s^(2n+1)f(x)))*e^(sx))
d'où g'(x)=e^(sx)*s^(2n+1)*f(x) !

On calcule maintenant N=b*Intégrale (0,1) (e^(sx)*s^(2n+1)*f(x) dx)
Comme vous êtes d'une intelligence inégalable (sauf peut-être par le petit hongkongais de 9 ans )
vous avez compris que c'est b*Intégrale(g'(x)) de 0 à 1, donc on a :
M=b*(g(1)-g(0))=b*(a/b*F(1)-F(0))=aF(1)-bF(0).

Donc M=a*F(1)-b*F(0).
Montrons que M€N. F est une somme de dérivées i-ièmes de f. Etudiées en 0 et 1, ces dérivées sont entières (cf préliminaires).
Par conséquent, F(1) et F(0) sont entiers, donc M est entier.
On se souvient maintenant des résultats préliminaires !!!
Comme s€N* et que f(x)>0 (b) on a alors g'(x)>0. Donc M>0.
De plus, d'après (b), entre 0 et 1, f(x)<1/n!, et comme s>0, sx<=s cad e^sx<=e^s=a/b (car exp est croissante).

Maintenant, le bouquet final !!!!
On a M<b*Intégrale(0,1)(a/b*s^(2n+1)*1/n!)=a*s^(2n+1)/n!*(1-0).
Alors comme on a pris n suffisamment grand pour que a*s^(2n+1)<n!, on obtient 0<M<1, mais comme M est entier, c'est absurde. Donc e^s est irrationnel. La généralisation est immédiate, comme l'a souligné Hadrien.

Bon voilà c'est fini !!! Je sens de mon antre les soupirs de soulagement (ou bien vous vous êtes déjà cassés, à bout de forces, mais le démon n'a pas de frontières et vous poursuivra jusqu'en enfer !!!!). Bref maintenant il ne reste plus à Hadrien de March qu'à nous dire comment il a fait l'exercice (puisqu'il est si facile et soi-disant faisable !!!!)

Spoiler:

[Hadrien De March]

C'étais la bonne réponse en effet...

[MVMB]

Bonjour,

Quitte à résoudre ce problème, autant en trouver quelques applications !

1) D'abord, on peut montrer rapidement pour tout q, avec q€Q+* et q!=1, ln(q) est irrationnel.
2)Euh... en fait j'allais vous dire d'essayer de démontrer des trucs pas possiblesà démontrer, et je n'ai pas beaucoup d'idées...

Si vous avez d'autres idées... Moi je suis en panne sèche en ce moment !

[Julien C.]

Salut à toi Grand Matheux Boutonneux!

Concernant ta démonstration, ça a l'air pas mal mais ça fait un peu mal aux yeux je trouve, c'est difficilement lisible avec les caractères du forum (^, *, ..) il faudrait essayer de l'amménager avec LaTeX ou autre.. !

Concernant ton application, très rapidement :
par l'absurde, on suppose qu'il existe q, avec q€Q+* et q différent de 1, tel que ln(q) est rationnel.
Alors d'après le théorème démontré plus haut, exp(ln(q))=q est irrationnel. Absurde.

Autrement un petit exo pour toi qu'Hadrien a résolu ce matin au tableau :
Trouver un équivalent simple de sin(x)^x - x^sin(x) en 0.

Have fun!

[MVMB]

Salut

Spoiler:

D'abord le MB c'est pour méga boss (enfin non mais bon hadrien pourquoi tu as dit que c'était matheux boutonneux Ma vengeance sera terrible
Bon sinon évidemment c'était la bonne réponse... je sais que ce n'était pas dur mais bon panne sèche...
L'exo que j'avais voulu mettre c'était montrer que e est transcendant...
Je me suis aperçu que je n'arrivais pas du tout au résultat
Tout ce que j'arrive à montrer c'est que e ne peut pas être racine d'un polynôme algébrique formé d'au plus deux monômes...
Je sais c'est absolument pitoyable !!
Sinon la démo je l'aurais bien mise en forme car je sentais que niveau lisibilité c'était pas le top mais je n'ai pas les outils pour...
De toute façon face à ce genre de démo mieux vaut se munir d'une feuille et d'un crayon et tout va tout de suite mieux (meme si une mise en forme lisible ce n'est jamais de refus...)

Enfin, pour l'exo d'Hadrien je vais y réfléchir mais ca fait longtemps pour moi les dl et équivalents (et oui l'univ c'est la dèche on fait une partie un semestre et l'autre partie le deuxième semestre mais on n'y est pas encore !)
En plus vous verriez mes exos d'univ vous seriez assez mort de rire je pense
Là bas je suis presque un dieu faut croire d'après eux (et je ne vous explique pas la définition de bon en maths...)

PS: Ma démo n'a pas l'air pas mal, elle est magnifique

[Hadrien De March]

Bon soit je suis mal placé pour dire une telle chose mais je pense que des gens seraient plus interressés par cette démo si on pouvais plus facilement la lire.

Le fait qu'elle soit illisible repousse, je te conseillerais d'en améliorer la lisibilité rien que en mettant, déjà, des exposant sans les symboles ^ (comme a dit ce cher Julien C).

En attente de la bonne lisibilité.

De March


PS : l'équivalent est pas super compliqué t'inquiètes pas.

[Julien C.]

Si on définit les hommes comme des applications alors :
Hadrien=o(Julien) au voisinage de tout point,
et plus généralement encore
Hadrien=o(1) au voisinage de +oo.
Je vous laisse en tirer les conclusions.

Si on définit les hommes comme des réels, alors
Hadrien est l'unique réel vérifiant h=<0 et h²=h.
Je vous laisse en tirer les conclusions.

Si on définit les hommes par leur note en anglais, alors
1/Hadrien n'est pas défini. (voir la dernière copie)

Voilà un extrait de ce que je lui fais subir en cours de maths. Pour ceux qui sont interessés, j'ai un extrait musical d'hadrien en train de chanter "Gûnter - You touch my tralala" sur MSN au micro, à libre disposition bien sûr!

Cordialement.

[Hadrien De March]

Tes démonstrations sont fausses, comme d'habitude.

Et puis je nie être l'interprète sur ton enregistrement trafiqué.

[MVMB]

Bon soit les équivalents c'est pas mon truc soit c'est que je suis malade...
En tout cas je n'ai pas la réponse. (ah et tout ce week-end je n'avais pas eu le temps ni la connexion nécessaire pour y réfléchir )

Bon comme j'ai réussi la suite de Hadrien dans son autre post, je crois que c'est quand même que les équivalents c'est pas mon truc...
PS : Je ne mets pas de spoiler sur l'autre post car par expérience 90% des gens regardent direct le spoiler. ^^
Or cette suite mérite que vous y réfléchissiez par vous même...
Good luck !

PS2 : @ Julien.C : Evidemment je suis preneur de cet enregistrement... Moi je n'ai que Hadrien qui imite "Le Grand Yagoloniov" un scientifique russe complètement timbré de son invention...

[MVMB]

Comme la seule personne à avoir cherché cet exo (vous avez le droit de protester mais je ne vous croirai pas ) m'a demandé de publier une correction plus lisible je m'attelle à la tâche !

Il convient d'abord de donner quelques résultats préliminaires :
On définit f : x->xⁿ*(1-x)ⁿ/n!
*Il est évident que f peut s'écrire comme 1/n!*SOMME (n<=i<=2n) (c_i*xⁱ) (a) où c_i sont des coef entiers.

*De plus, pour 0<x<1, 0<f(x)<1/n! (b) (bon j'ai la flemme de le faire et vous comprendrez pourquoi, mais de toute façon si vous n'arrivez pas à le démontrer, arrêtez de lire ce post !!! )

*Un peu plus dur : les dérivées i-ièmes de f sont entières en 0 et 1 (pour tout i) :
-En 0 : En utilisant (a), on trouve : Si i<n ou i>2n, f⁽ⁱ⁾(0)=0.
Sinon, f⁽ⁱ⁾(0)=i!/n!*c_i, et comme i>=n, n! divise i!, donc i!/n!*c_i est entier.

-En 1 : Petite astuce : pour tout x, f(x)=f(1-x). Donc pour tout i, (f(1-x))⁽ⁱ⁾=(-1)ⁱ*f⁽ⁱ⁾(1-x)=(-1)ⁱ*f⁽ⁱ⁾(x).
En x=0, on obtient f⁽ⁱ⁾(1)=(-1)ⁱ*f⁽ⁱ⁾(0), donc c'est entier.


On entre maintenant dans le vif du sujet !!!!!!!!
Soit s€N*. On suppose qu'ils existent a,b€N* tq e^s=a/b.
Soit n suffisamment grand pour que n!>a*s²ⁿ⁺¹
Soit F : x->s²ⁿf(x)-s^2n-1f'(x)+s^2n-2f''(x)-...+f⁽²ⁿ⁾(x)
comme la f^(i>2n) est nulle, on peut écrire F comme une somme infinie
F(x)=s²ⁿf(x )-s^2n-1f'(x )+s^2n-2f''(x )-...+f⁽²ⁿ⁾(x )-1/s f⁽²ⁿ⁺¹⁾...

On calcule F'(x)=s²ⁿf'(x)-s^2n-1f''(x)...+f⁽²ⁿ⁺¹⁾(x).
Bon comme on est astucieux ici on s'aperçoit que F'(x)=-s*F(x)-(-s*s²ⁿf(x)) (il n'y a pas de problème pour les termes finaux car ils sont nuls), d'où le résultat F'(x)=-s*F(x)+s²ⁿ⁺¹f(x) (1)
On définit maintenant g(x)=e^sxF(x) (vous ne rêvez pas, on se rapproche du sujet !!!!!)

On calcule g'(x)=s*e^sxF(x)+e^sxF'(x).
En injectant le résultat (1), on obtient g'(x)=s*e^sxF(x)+(-s*F(x)+s²ⁿ⁺¹f(x))*e^sx)
d'où g'(x)=e^sx*s²ⁿ⁺¹*f(x) !

On calcule maintenant N=b*Intégrale (0,1) (e^sx*s²ⁿ⁺¹*f(x) dx)
Comme vous êtes d'une intelligence inégalable (sauf peut-être par le petit hongkongais de 9 ans )
vous avez compris que c'est b*Intégrale(g'(x)) de 0 à 1, donc on a :
M=b*(g(1)-g(0))=b*(a/b*F(1)-F(0))=aF(1)-bF(0).

Donc M=a*F(1)-b*F(0).
Montrons que M€N. F est une somme de dérivées i-ièmes de f. Etudiées en 0 et 1, ces dérivées sont entières (cf préliminaires).
Par conséquent, F(1) et F(0) sont entiers, donc M est entier.
On se souvient maintenant des résultats préliminaires !!!
Comme s€N* et que f(x)>0 (b) on a alors g'(x)>0. Donc M>0.
De plus, d'après (b), entre 0 et 1, f(x)<1/n!, et comme s>0, sx<=s cad e^sx<=e^s=a/b (car exp est croissante).

Maintenant, le bouquet final !!!!
On a M<b*Intégrale(0,1)(a/b*s²ⁿ⁺¹*1/n!)=a*s²ⁿ⁺¹/n!*(1-0).
Alors comme on a pris n suffisamment grand pour que a*s²ⁿ⁺¹<n!, on obtient 0<M<1, mais comme M est entier, c'est absurde. Donc e^s est irrationnel. La généralisation est immédiate, comme l'a souligné Hadrien.

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