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exercices de colles
perle Ven 21 Mar - 0:34
Soit E un Kev de dimension n et f un endomorphisme de E de rang r. Mq il existe (f1, f2, ..., fr) des endomorphismes de rang 1 de E tq f=f1+f2+...+fr
Soit E un Kev de dimension n et f un endomorphisme de E. On suppose que pour tout x de E il existe a appartenent à N tq f composée a fois soit nulle en x. Mq f est nilpotente.
Soit E un Kev de dimension n et f un endomorphisme de E. On suppose que pour tout x de E il existe a appartenent à N tq f composée a fois soit nulle en x. Mq f est nilpotente.
perle- Messages : 6
Date d'inscription : 13/03/2008
Exercice avec des intégrales
Stéphane JULIEN Lun 24 Mar - 17:13
Un petit exercice pour se faire peur (ou pas):
Trouver toutes les fonctions continues sur R tq pour tout x et y de R² on ait:
f(x)*f(y)=intégrale de x-y à x+y de f(t).dt
C tout!...
Trouver toutes les fonctions continues sur R tq pour tout x et y de R² on ait:
f(x)*f(y)=intégrale de x-y à x+y de f(t).dt
C tout!...
- Spoiler:
- Petit indice: il s'agit d'une colle donnée il y a ... 4 mois environ (et si
)
indice n°2: c'est sur le chapitre des equa diff
Stéphane JULIEN- Messages : 3
Date d'inscription : 24/03/2008
Réponse.
Hadrien De March Mar 25 Mar - 21:33
Voici la réponse à ce petit exercice de Stéphane, pour ceux qui n'aiment pas réfléchir ou qui ont juste la flemme.
Je la mets en caché pour ne pas que la réponse vous agresse les yeux.
Allez, si tu es faible clique :
Je la mets en caché pour ne pas que la réponse vous agresse les yeux.
Allez, si tu es faible clique :
- Spoiler:
- Soit f € S l'ensemble des solutions de cet exercice.
Quelque soit x réel f(x)*f(0) = intégrale de x à x de f(t) dt = 0
Donc f(0)² = 0 => f(0) = 0.
Mq f est impaire :
Quelque soient x et y deux réels, f(x)*f(y) = F(x+y) - F(x-y) (F est une primitive de f)
=> f(0)*f(y) = F(y) - F(-y) (on calcule en x = 0)
=> F(y) = F(-y)
Donc F est paire.
Remarque utile pour la suite : F paire => f impaire => f ' paire => f '' impaire. (Si jamais elles existent bien sûr !)
f(x)*f(y) = F(x+y) - F(x-y) Donc en considérant que f(y) est une constante, on peut dériver par rapport à x car F est dérivable.
=> f '(x)*f(y) = f(x+y) - f(x-y) Idem
=> f ''(x)*f(y) = f '(x+y) - f '(x-y) En calculant en x=0 on constaterait que la dérivée seconde de f en 0 est nulle, mais il est en fait plus interressant de dériver une nouvelle fois :
=> f '''(x)*f(y) = f ''(x+y) - f ''(x-y) Puis en x = 0 :
=> f '''(0)*f(y) = f ''(y) - f ''(-y) On pose alors a = f '''(0) et on se souvient que f '' est impaire.
=> a*f(y) = 2*f ''(y)
Une équation différentielle !!!!!! Bon après c'est que du calcul et du traitement de cas.
On traite le Cas 1 où a = 0, alors f'' est constament nulle donc par intégration il existe a0 et a1 tels que f = x -> a1*x + a0
f(0) = 0 = a0
Donc f(x) = a1*x
Soient x et y deux réels, f(x)*f(y) = a1²*x*y = F(x+y) - F(x-y)
= a1/2*(x+y)² - a1/2*(x-y)²
= 2*a1*x*y
Il en résulte f = x -> 0 ou f= x -> 2x (réciproquement elles vérifient bien la relation).
Cas 2 : a différent de 0.
a*f(y) = 2*f ''(y) <=> f '' - a/2 f = 0
La solution de cette équation différentielle est f(t) = µ*sin(wt) ou f(t) = µ*sh(wt) selon le signe de a (car f(0)=0) (w et µ sont deux réels quelquonques)
Bon sur ce j'en ai marre (je speede), on trouve grâce à f '(0)*f(y) = f(y) - f(-y) = 2*f(y) que comme f n'est pas la fonction nulle, f '(0) = 2.
On en déduit µw = 2
La réciproque marche (amusez vous à la faire ).
Donc S={x->0 ou x->2x ou x->2/w*sh(wx) ou x->2/w*sin(wx) / w € R}
Dernière édition par Hadrien De March le Jeu 27 Mar - 17:17, édité 4 fois
Hadrien De March- Messages : 29
Date d'inscription : 21/03/2008
Intégrales
perle Mar 25 Mar - 22:48
Soit P une application de C°([0;1],R) dans R, qui à f associe l'intégrale de f fois l'intégrale de 1/f sur [0;1]. Im P est minoré ? majoré ? borne sup ? inf ?
- Spoiler:
On montre avec l'inégalité de Cauchy-Schwarz, que Im P est minoré par 1 et on trouve une fonction f, tq P(f)=1.
Im P n'est pas majoré. On peut regarder ce que cela donne avec f(x)=e+1/e*x et e qui tend vers 0. On peut trouver d'autres fonctions, constantes sur un premier segment puis qui croissent plus ou moins vite. Il paraît qu'avec exp(-n*t), quand n tend vers l'infini convient aussi. A vérifier
perle- Messages : 6
Date d'inscription : 13/03/2008
Solution définitive a mon exo
Stéphane JULIEN Mer 26 Mar - 20:39
Pour la solution, c ca, sauf qu'on peut faire moins bourrin !!!! 
(mais bon c une astuce qu'on trouve pas tout de suite, voire pas du tout) Un petit commentaire en passant:
citation de monsieur Rousselet: "bon c vrai que l'exo était un peu dur mais ca serait bien que tu le réussisses parce qu'au concours de Centrale c l'exo que tout le monde rate"
LOL?? 
(3è colle de sup, c vicieux)
C bon Hadrien t'as même pas besoin de la 2è année!
Sinon il suffisait de dériver une fois sur x et une sur y, de soustraire les 2 équations (ça se simplifie), puis faire de même sur ce que l'on obtient (mais il faut sommer cette fois ci), et on tombe (par miracle?) sur une equa diff toute bête du 2è degré. Et voilà.
(mais bon c une astuce qu'on trouve pas tout de suite, voire pas du tout) Un petit commentaire en passant:citation de monsieur Rousselet: "bon c vrai que l'exo était un peu dur mais ca serait bien que tu le réussisses parce qu'au concours de Centrale c l'exo que tout le monde rate"
LOL?? (3è colle de sup, c vicieux)C bon Hadrien t'as même pas besoin de la 2è année!
Sinon il suffisait de dériver une fois sur x et une sur y, de soustraire les 2 équations (ça se simplifie), puis faire de même sur ce que l'on obtient (mais il faut sommer cette fois ci), et on tombe (par miracle?) sur une equa diff toute bête du 2è degré. Et voilà.
Stéphane JULIEN- Messages : 3
Date d'inscription : 24/03/2008
"C'est vrai que centrale c'est vraiment trop calculatoire"_ HDM
Hadrien De March Mer 26 Mar - 21:31
Ah bon un exo de l'oral de centrale ? C'est violent.
Enfin je dois admettre que j'ai eu quelques difficultés pour trouver en tout cas...
C'est malgré tout sadique de ta part de mettre un exercice aussi peu commode en ligne
tu as voulu faire partager aux autres la souffrance que tu as eu durant ta colle ? Mr Rousselet a mis la barre très haut quand même... Je ne sais pas si j'aurais su trouver dans les temps.
Enfin je dois admettre que j'ai eu quelques difficultés pour trouver en tout cas...
C'est malgré tout sadique de ta part de mettre un exercice aussi peu commode en ligne
tu as voulu faire partager aux autres la souffrance que tu as eu durant ta colle ? Mr Rousselet a mis la barre très haut quand même... Je ne sais pas si j'aurais su trouver dans les temps. Dernière édition par Hadrien De March le Mer 26 Mar - 22:29, édité 1 fois
Hadrien De March- Messages : 29
Date d'inscription : 21/03/2008
L'X c'est quand même moins calculatoire que Centrale
Julien C. Mer 26 Mar - 21:47
Pourquoi tu postes pas l'exo de l'oral de l'X que t'a donné M. Philibert sur le forum Hadrien, pour qu'on s'y essaye?
Sinon moi cette semaine j'ai eu le même exercice que Perle.
Sinon moi cette semaine j'ai eu le même exercice que Perle.
Julien C.- Messages : 10
Date d'inscription : 15/03/2008
Age : 34
Exo de l'oral de l'X de Mr Philibert.
Hadrien De March Mer 26 Mar - 22:26
Soit f € C°([-1,1],R), on définit (Un) par quelque soit n entier, Un = intégrale de -1 à 1 de f(t)^n dt.
Déterminez toutes les fonctions f telles que (Un) prenne un nombre fini de valeurs.
Déterminez toutes les fonctions f telles que (Un) prenne un nombre fini de valeurs.
- Spoiler:
- L'examinateur de l'X vous dit avec un sourire sadique : "une solution à cet exercice existe."
Hadrien De March- Messages : 29
Date d'inscription : 21/03/2008
Exo sur le suites et les intégrales
alexandre C. Ven 28 Mar - 22:58
Soit f,g deux fonctions C° sur [0,1] et =>0 sur [0,1] (avec g>0). Soit (Un)n=>0 la suite définie par :
Un= intégrale de 0 à 1 de (f^n)*g. Etudier la suite ((Un+1)/Un)n=>0 .
Un= intégrale de 0 à 1 de (f^n)*g. Etudier la suite ((Un+1)/Un)n=>0 .
- Spoiler:
- on montre aisément que la suite est bornée , puis en utilisant astucieusement l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on prouve que la suite est croissante. On en déduit ainsi qu'elle converge.
alexandre C.- Messages : 1
Date d'inscription : 21/03/2008
Exercice sur l'intégration
Benjamin Lainé Sam 29 Mar - 2:03
Déterminer la limite de la suite Un = racine n-ième de (n parmi 2n)
- Spoiler:
- Après transformation de la suite, on se ramène à une somme de Riemann. L'intégrale à calculer n'étant pas définie en [0,1], on modifie la somme obtenue pour en avoir deux nouvelles, dont l'une pose un problème de non-continuité en 0. On peut encadrer cette dernière par deux fonctions en escalier sur [1/n,1], et finalement calculer la limite des deux sommes de Riemann.
Dernière édition par Benjamin Lainé le Sam 5 Avr - 14:23, édité 1 fois
Benjamin Lainé- Messages : 7
Date d'inscription : 29/03/2008
Localisation : Torcy -
Autres exercices d'intégration...
jmW Sam 29 Mar - 2:25
Voici deux exercices (donnés en colle vendredi) pour vous entrainer ce week-end :
Soit f une fonction de classe C^1 sur un segment [a,b] telle que |f'| est majorée par M sur [a,b] et f(a)=f(b)=0. Montrer que la valeur absolue de l'intégrale de f sur [a,b] est majorée par (M(b-a)^2)/4.
On pose I_n=intégrale de 0 à pi/4 de (tan(t))^n dt.
Montrer que I_n tend vers 0 quand n tend vers + infini. Donner un équivalent de I_n.
Soit f une fonction de classe C^1 sur un segment [a,b] telle que |f'| est majorée par M sur [a,b] et f(a)=f(b)=0. Montrer que la valeur absolue de l'intégrale de f sur [a,b] est majorée par (M(b-a)^2)/4.
On pose I_n=intégrale de 0 à pi/4 de (tan(t))^n dt.
Montrer que I_n tend vers 0 quand n tend vers + infini. Donner un équivalent de I_n.
Dernière édition par jmW le Dim 30 Mar - 23:17, édité 1 fois
jmW- Messages : 13
Date d'inscription : 16/03/2008
Re: exercices de colles
jmW Sam 29 Mar - 2:26
Dernière édition par jmW le Dim 30 Mar - 23:18, édité 2 fois
jmW- Messages : 13
Date d'inscription : 16/03/2008
To jmW
Hadrien De March Dim 30 Mar - 21:31
1 -> L'équivalent de l'int de tangente est 1/(2n).
2 -> Dans l'exercice 12 de la feuille d'exercices (irrationnalité de Pi), ne serait il pas plus judicieux de poser In = intégrale de 0 à Pi de Pn(x)sin(x) dx ? (sin(x) plutôt que sin(nx) ). (Sous entendu : heures de recherche absurde d'aburdité avec acharnement
).
Dans l'espoir que vous confirmiez ou infirmiez ces assertions.
Merci d'avance !
2 -> Dans l'exercice 12 de la feuille d'exercices (irrationnalité de Pi), ne serait il pas plus judicieux de poser In = intégrale de 0 à Pi de Pn(x)sin(x) dx ? (sin(x) plutôt que sin(nx) ). (Sous entendu : heures de recherche absurde d'aburdité avec acharnement
).Dans l'espoir que vous confirmiez ou infirmiez ces assertions.
Merci d'avance !
Dernière édition par Hadrien De March le Dim 30 Mar - 23:58, édité 1 fois
Hadrien De March- Messages : 29
Date d'inscription : 21/03/2008
Re: exercices de colles
jmW Dim 30 Mar - 23:21
1/ L'équivalent de l'intégrale est bien 1/(2n).
2/ Une erreur de frappe s'est effectivement glissée dans l'énoncé. Il faut prendre sin x et pas sin nx.
Bonne soirée
2/ Une erreur de frappe s'est effectivement glissée dans l'énoncé. Il faut prendre sin x et pas sin nx.
Bonne soirée
jmW- Messages : 13
Date d'inscription : 16/03/2008
snif, pas moyen d'activer le HTML sur ce forum u__u
Lehuby Noémie Mar 1 Avr - 18:59
Déterminer la limite lorsque n tend vers plus l'infini de
1) somme de p = 1 à p=n de (n / (n²+p²))
2) (racine carrée de 1 + racine de 2 + ... + racine de n ) / (n * racine de n)
3) intégrale de 0 à 1 de f(t)e-ntdt où f désigne une fonction de classe C1 sur [0,1]
1) somme de p = 1 à p=n de (n / (n²+p²))
2) (racine carrée de 1 + racine de 2 + ... + racine de n ) / (n * racine de n)
3) intégrale de 0 à 1 de f(t)e-ntdt où f désigne une fonction de classe C1 sur [0,1]
- Spoiler:
1) somme de Riemman. En factorisant par 1/n, il apparaît que la fonction à poser est 1 / (1+x²).
On trouve finalement Pi/4.
2) idem. En factorisant par 1/n et en posant f(x)=racine de x, on trouve finalement 2/3
3) intégration par parties
u=f u'=f'
v'= e-nt v=-1/n * e-nt
donc intégrale à calculer = f(0)/n - f(1)*e-n + 1/n *intégrale de 0 à 1 de f'(t)e-nt.
les deux premiers termes tendent vers 0.
Quant au dernier, il faut le majorer en utilisant le fait que f' est continue (donc bornée et atteignant ses bornes) sur [0,1].
On trouve ainsi que la limite recherchée est 0.
Lehuby Noémie- Messages : 10
Date d'inscription : 15/03/2008
Age : 33
Exercices d'intégration...
jmW Mar 1 Avr - 20:49
Voici quelques exercices que j'ai posés Lundi :
• Soit f une fonction continue strictement positive sur [0,1] et n un entier naturel non nul. Montrer qu'il existe une subdivision (x0,x1,...,xn) de [0,1] telle que, pour tout k, l'intégrale de xk-1 à xk de f vaut I/n où I désigne l'intégrale de f sur [0,1]. Déterminer ensuite la limite, quand n tend vers +infini, de (somme de k=1 à n de f(xk))/n
• Soit f une fonction de classe C^1 sur [a,b] avec f(a)=0 et f'(x) dans [0,1] pour tout x. Comparer alors l'intégrale sur [a,b] de f3 et (intégrale sur [a,b] de f)2
• Soit n un entier naturel supérieur à 3. On trace, sur le cercle trigo un polygone régulier A1A2...An. Quelle est la limite, quand n tend vers +infini, de :
(somme de k=2 à n de A1Ak)/n
• Soit f une fonction continue strictement positive sur [0,1] et n un entier naturel non nul. Montrer qu'il existe une subdivision (x0,x1,...,xn) de [0,1] telle que, pour tout k, l'intégrale de xk-1 à xk de f vaut I/n où I désigne l'intégrale de f sur [0,1]. Déterminer ensuite la limite, quand n tend vers +infini, de (somme de k=1 à n de f(xk))/n
• Soit f une fonction de classe C^1 sur [a,b] avec f(a)=0 et f'(x) dans [0,1] pour tout x. Comparer alors l'intégrale sur [a,b] de f3 et (intégrale sur [a,b] de f)2
• Soit n un entier naturel supérieur à 3. On trace, sur le cercle trigo un polygone régulier A1A2...An. Quelle est la limite, quand n tend vers +infini, de :
(somme de k=2 à n de A1Ak)/n
jmW- Messages : 13
Date d'inscription : 16/03/2008
Re: exercices de colles
Amandine Lafosse-Marin Mar 1 Avr - 22:25
Soit f continue de [0;1] dans [a;b], avec a<0<b. L'intégrale de 0 à 1 de f est nulle. Montrer que l'intégrale de 0 à 1 de f² est inférieure ou égale à -ab.
NB : d'après M. Philibert, cet exercice est "diabolique" ... Est-ce qu'il disait ça pour me consoler de ne pas avoir trouvé en une heure ?
NB : d'après M. Philibert, cet exercice est "diabolique" ... Est-ce qu'il disait ça pour me consoler de ne pas avoir trouvé en une heure ?
- Spoiler:
- (f-a)(f-b) inférieur ou égal à 0
On intègre le tout et l'inégalité recherchée apparait quasi telle quelle TT^TT
Ça fait très mal quand on voit le colleur résoudre ça en une ligne ...
Amandine Lafosse-Marin- Messages : 4
Date d'inscription : 20/03/2008
Age : 34
Exercice sur l'intégration
Benjamin Lainé Sam 5 Avr - 14:22
Soit a€R*. Soit f:[0,a]-->R de classe C1 et telle que f(0)=0 et f'>0.
a)Après en avoir justifié l'existence, montrer que int(f,0..x) + int(f^-1,0..f(x)) = xf(x)
b)Montrer que pour tout (x,y)€[0,a]x[0,f(a)] int(f,0..x) + int(f^-1,0..y) >= xy
a)Après en avoir justifié l'existence, montrer que int(f,0..x) + int(f^-1,0..f(x)) = xf(x)
b)Montrer que pour tout (x,y)€[0,a]x[0,f(a)] int(f,0..x) + int(f^-1,0..y) >= xy
Benjamin Lainé- Messages : 7
Date d'inscription : 29/03/2008
Localisation : Torcy -
Exercices DL
Quang Lun 7 Avr - 21:25
La limite de exp(-x*th(x))*sh(x) lorsque x tend vers l'infini.
- Spoiler:
- il suffit de faire un DL de th au voisinage de l'infini
Dernière édition par Quang le Mer 9 Avr - 15:24, édité 2 fois
Quang- Messages : 5
Date d'inscription : 15/03/2008
Exercice sur les limites
Nathalie N. Lun 7 Avr - 23:01
Deux exos posés par Mr Wachter en colle:
1) Trouver un DL4(0) de racine(1+sin(x))
2) Déterminer la limite quand n tend vers l'infini de : (3*21/n - 2*31/n)n
1) Trouver un DL4(0) de racine(1+sin(x))
2) Déterminer la limite quand n tend vers l'infini de : (3*21/n - 2*31/n)n
Nathalie N.- Messages : 8
Date d'inscription : 14/03/2008
à Quang
Hadrien De March Mar 8 Avr - 0:26
Es tu sûr qu'il soit nécessaire de faire quelque chose qui ressemble à un DL ? En effet le sh est équivalent à 1/2 d'exponentielle, puis exp(-x*thx) ~ exp(-x) (car x-x*thx = x*(1-thx) = x*(exp(-x)/ch(x)) qui tend très clairement vers zéro par croissance comparée).
Et ainsi ça tend vers 1/2... (version non manichéenne)
Enfin je dis ça parce que les DL, je n'aime pas trop ça........ Alors tant qu'à utiliser un bon vieil équivalent. ^^
Et ainsi ça tend vers 1/2... (version non manichéenne)
Enfin je dis ça parce que les DL, je n'aime pas trop ça........ Alors tant qu'à utiliser un bon vieil équivalent. ^^
Dernière édition par Hadrien De March le Mer 9 Avr - 18:38, édité 1 fois (Raison : censored)
Hadrien De March- Messages : 29
Date d'inscription : 21/03/2008
Tenue du langage dans le forum
FRauscher Mar 8 Avr - 8:57
Cher Hadrien,
Ce forum étant purement scientifique, toute notion morale sur le bien ou le mal, Dieu ou Lucifer n'y a pas sa place et je te propose de les laisser à d'autres cercles de discussion.
Fais-nous donc plutôt profiter de ton intelligence et de ta compréhension des mathématiques, en toute simplicité, sans y sur-ajouter d'autres notions inutiles aux besoins de la démonstration.
Cordialement,
François Rauscher
Ce forum étant purement scientifique, toute notion morale sur le bien ou le mal, Dieu ou Lucifer n'y a pas sa place et je te propose de les laisser à d'autres cercles de discussion.
Fais-nous donc plutôt profiter de ton intelligence et de ta compréhension des mathématiques, en toute simplicité, sans y sur-ajouter d'autres notions inutiles aux besoins de la démonstration.
Cordialement,
François Rauscher
FRauscher- Admin
- Messages : 46
Date d'inscription : 08/03/2008 -
Quang- Messages : 5
Date d'inscription : 15/03/2008
Exo de Nathalie
Quang Mar 8 Avr - 23:20
1) aux erreurs de calculs près, je trouve
sqrt(1+sin(x))=1+x/2-(x^2)/8-(x^3)/48+(x^4)/384+o(x^4)
2) je trouve 1+3*ln(2)-2*ln(3) mais je pense que c faux ^^ donc faudrait m'aider
(en fait je pensais faire des petits DL à l'ordre 1 après avoir mis sous forme exponentielle)
sqrt(1+sin(x))=1+x/2-(x^2)/8-(x^3)/48+(x^4)/384+o(x^4)
2) je trouve 1+3*ln(2)-2*ln(3) mais je pense que c faux ^^ donc faudrait m'aider
(en fait je pensais faire des petits DL à l'ordre 1 après avoir mis sous forme exponentielle)
Quang- Messages : 5
Date d'inscription : 15/03/2008
Re: exercice sur les limites
Nathalie N. Mer 9 Avr - 0:15
Pour le premier exo il faut que je refasse le calcul, mais les premiers termes me semblent bons.
Pour le deuxième, tu dois avoir la bonne méthode car tu trouves 1-ln(8/9) et le résulat est 8/9 (tu as dû oublier de repasser en exponentielle ou quelque chose comme ça.
Pour le deuxième, tu dois avoir la bonne méthode car tu trouves 1-ln(8/9) et le résulat est 8/9 (tu as dû oublier de repasser en exponentielle ou quelque chose comme ça.
- Spoiler:
- (3*21/n-2*31/n)n = exp(n*ln(3*21/n - 2*31/n) = exp(f(n))
Or f(n) = 3*21/n-2*31/n tend vers 1 quand n tend vers l'infini.
On pose donc u(n)= 3*21/n-2*31/n -1 qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
Ainsi: f(n) = n*ln(3*21/n-2*31/n = n*ln(1+u(n)) équivalent à n*u(n) au V(+oo).
Donc f(n) équivalent n*(3*21/n-2*31/n -1) = n*(3*e1/n*ln(2)-2*e1/n*ln(3) -1) au V(+oo)
On fait des DL2(0) des exponentielles car 1/n tend vers 0 quand n tend vers l'infini. Tu obtiens:
f(n) équivalent à n*(3/n*ln(2)-2/n*ln(3))=ln(8/9)
Donc:
(3*21/n-2*31/n)n équivalent à ef(n) équivalent à eln(8/9) au V(+oo).
Donc:
(3*21/n-2*31/n)n tend vers 8/9 quand n tend vers l'infini.
Dernière édition par Nathalie N. le Mer 9 Avr - 0:23, édité 1 fois
Nathalie N.- Messages : 8
Date d'inscription : 14/03/2008
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