Suite pas marrante du tout.
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Suite pas marrante du tout.
Hadrien De March Dim 13 Avr - 23:00
Alors ! 
C'est une suite que j'ai trouvée par hasard.
Elle va vous molester le cerveau.
Bon, eh bien le défi est de trouver son terme général.
En fait la suite est définie par une paire de suites (An) et B(n) :
A1 = 2
B1 = 1
Quelque soit n € N
A(n+1)=(An)² + 2(Bn)²
et B(n+1) = 2An*Bn + (Bn)²
Bonne chance !!
C'est une suite que j'ai trouvée par hasard.
Elle va vous molester le cerveau.
Bon, eh bien le défi est de trouver son terme général.
En fait la suite est définie par une paire de suites (An) et B(n) :
A1 = 2
B1 = 1
Quelque soit n € N
A(n+1)=(An)² + 2(Bn)²
et B(n+1) = 2An*Bn + (Bn)²
Bonne chance !!
- Spoiler:
- Eh oui ! Enfin un spoiler qui ne cherche pas à vous casser !
Pour simplifier un peu l'affaire il suffira de calculer An - Bn (en partant des conditions initiales)
On obtient A(n+1)-B(n+1)=(An-Bn)²
Du coup le problème devient résolvable en ne traitant qu'une des deux suites.
Maintenant essayez de finir la résolution. (Attention ça n'est pas immédiat
)
Hadrien De March- Messages : 29
Date d'inscription : 21/03/2008
Zut !!
Hadrien De March Lun 14 Avr - 23:11
En reconsidérant ma suite je me suis rendu compte que ça n'était pas si difficile que je le pensais....
Ma super technique ultra compliquée avec des matrices était inutile en fait (comme moi *sanglot*).
Donc voici de quoi vous aider :
Indice :
Ma super technique ultra compliquée avec des matrices était inutile en fait (comme moi *sanglot*).
Donc voici de quoi vous aider :
Indice :
- Spoiler:
- Inspirez vous des suites arithmético-géomètriques pour trouver une suite Vn qui ait une relation de récurrence un petit peu plus simple que celle de Bn.
Hadrien De March- Messages : 29
Date d'inscription : 21/03/2008
Re: Suite pas marrante du tout.
MVMB Lun 14 Avr - 23:26
Je confirme, tu es USELESS !!!!!
Sinon je ne sais pas (enfin si je sais
) mais j'aime beaucoup ma 1ère définition de la suite que j'avais trouvée avant de la simplifier (excepté le fait qu'elle posait problème pour le 1er terme)
En plus ça fait découvrir une jolie propriété des nombres de F..... pour la simplification !!
Je vous en ai déjà trop dit !
Sur ce, je retourne vaquer à mes occupations !
Sinon je ne sais pas (enfin si je sais
) mais j'aime beaucoup ma 1ère définition de la suite que j'avais trouvée avant de la simplifier (excepté le fait qu'elle posait problème pour le 1er terme)En plus ça fait découvrir une jolie propriété des nombres de F..... pour la simplification !!
Je vous en ai déjà trop dit !
Sur ce, je retourne vaquer à mes occupations !
MVMB- Messages : 13
Date d'inscription : 06/04/2008
re : suite pas marrante
MVMB Mar 15 Avr - 12:19
Bon je me lance, comme j'ai une solution différente de celle d'Hadrien (enfin j'ose supposer ) ça peut être assez marrant !! De plus bonne nouvelle, je viens de voir par hasard qu'on pouvait mettre des indices et des exposants. Par contre si vous êtes 
ne vous attardez pas...
Vous êtes naïfs quand même 
Comme si la solution était facile...
) ça peut être assez marrant !! De plus bonne nouvelle, je viens de voir par hasard qu'on pouvait mettre des indices et des exposants. Par contre si vous êtes ne vous attardez pas...- Spoiler:
- Dans un premier temps on regarde quelques premiers termes :
A1=2=B1+1, A2=2²+2=6 et B2=2*2+1=5=A2+1, A3=6²+2*5²=86 et B3=2*6*5+5²=85=A3+1
On peut donc conjecturer que pour tout i€N*, Ai-Bi=1. Par récurrence :
On a A1-B1=1 donc ini vérifiée. Supposons qu'au rang i, Ai-Bi=1.
De plus Ai+1-Bi+1=Ai²-2*Ai*Bi+Bi²=(Ai-Bi)²=1 grâce à l'hyp de récurrence.
On choisit maintenant quelle suite étudier, et on s'aperçoit que (Bn) est la plus simple, et pour tout n on a :
Bn+1=2*(Bn+1)*Bn+Bn²=3Bn²+2Bn, d'où Bn+1=Bn*(3Bn+2).
C'est après coup (c'est à dire après des complications insensées...) que je m'en suis souvenu
mais on s'aperçoit que B2=5=F1, avec (Fn) la suite des nombres de Fermat. (pour tout n€N, Fn=2²n+1)
De plus, je me suis rappelé (je sais ça fait beaucoup de souvenirs qui reviennent
) que pour tout n€N*, on a la propriété suivante : PI i<n (Fi)=Fn-2. (1)
Preuve par récurrence :
Initialisation : F1-2=5-2=3=F0 donc l'initialisation est vérifiée.
Hérédité : Supposons qu'au rang n, on ait (1).
Alors PI i<=n (Fi)=(Fn-2)*Fn=Fn²-2Fn
Donc PI i<=n (Fi)=(2²n))²+2*(2²n)+1-2*(2²n)-2
et c'est donc égal à 2²n+1+1-2=Fn+1-2 donc l'hérédité est vérifiée. CQFD
Mais la suite (Bn) a beaucoup de similitudes avec cette propriété des nombres de Fermat, étant donnée sa définition par récurrence que je rappelle : Bn+1=Bn*(3Bn+2).
(car on remarque que le terme F0=3 de la suite de Fermat n'est pas dans la suite B)
Nous remarquons en fait que pour tout n€N*, Bn+1=Bn*Fn (conjecture), c'est à dire pour n>1:
Bn=PI 0<i<n (Fi). (2) (car B1=1) Démontrons (2) par récurrence :
On a B2=5=F1 donc l'ini est vérifiée. Supposons qu'au rang n, on ait (2).
Bn+1=Bn*(3*Bn+2) donc on a :
Bn+1=PI 0<i<n (Fi)*(3*PI 0<i<n (Fi)+2), d'où :
Bn+1=PI 0<i<n (Fi)*(PI i<n (Fi)+2) donc avec la propriété (1) :
Bn+1=PI 0<i<n (Fi)*Fn d'où on obtient au final :
Bn+1=PI 0<i<=n (Fi) donc l'hérédité est vérifiée !
Finalement on a pour tout n>1 Bn=PI 0<i<n (Fi)=(Fn-2)/3.
Et de plus B1=1=(5-2)/3, donc on a : Bn=(Fn-2)/3 pour tout n€N*.
Comme An=Bn+1, on a An=(Fn+1)/3
Bon voilà la démo est finie... Ca m'a même l'air plus lisible que la dernière fois !
Vous êtes naïfs quand même Comme si la solution était facile...
Dernière édition par MVMB le Mar 15 Avr - 22:50, édité 1 fois
MVMB- Messages : 13
Date d'inscription : 06/04/2008
Mouais
Hadrien De March Mar 15 Avr - 21:32
En effet tu arrives à la bonne solution, mais bon une conjecture avec des nombres de Fermats qui sortent de on ne sait pas où...
C'est bien te compliquer la vie.
Surtout que ma démo était relativement simple, et plus naturelle, et moins tirée par les cheveux, et potentiellement un peu plus lisible, et accessible au commun des mortels, et directe.
Enfin c'est bien tu as trouvé la réponse, pas comme d'autres...
C'est bien te compliquer la vie.
Surtout que ma démo était relativement simple, et plus naturelle, et moins tirée par les cheveux, et potentiellement un peu plus lisible, et accessible au commun des mortels, et directe.
Enfin c'est bien tu as trouvé la réponse, pas comme d'autres...
Hadrien De March- Messages : 29
Date d'inscription : 21/03/2008
Re: Suite pas marrante du tout.
MVMB Mar 15 Avr - 22:42
Oui d'accord je sors tout de presque nulle part mais la démo je la sors de la manière la plus simple possible, mais ça m'a demandé un certain raisonnement que je n'explicite pas ici !
En plus ça peut être intéressant cette propriété des nombres de Fermat.
J'en avais déjà donné une application à Hadrien :
Déduire de cette propriété qu'il y a une infinité de nombres premiers ! (Je sais que on a des millions de façons de le montrer mais celle-ci elle est sympa)
Par ailleurs, avoir plusieurs raisonnements sur un même exercice, c'est intéressant et en plus j'y ai passé une heure avec ces conneries d'indices et d'exposants...
J'espère au moins que ma démo était lisible, et en plus elle ne demande pas de trouver une autre suite qui va simplifier l'expression... Je pense que cela n'aurait pas été très dur mais je trouve ma méthode plus sympa !
(Je sais que je vais être le seul...)
MVMB (je sais que je ne bois pas, mais je préfère être bourré plutôt qu'être comparé à un cochon ^^)
En plus ça peut être intéressant cette propriété des nombres de Fermat.
J'en avais déjà donné une application à Hadrien :
Déduire de cette propriété qu'il y a une infinité de nombres premiers ! (Je sais que on a des millions de façons de le montrer mais celle-ci elle est sympa)
Par ailleurs, avoir plusieurs raisonnements sur un même exercice, c'est intéressant et en plus j'y ai passé une heure avec ces conneries d'indices et d'exposants...
J'espère au moins que ma démo était lisible, et en plus elle ne demande pas de trouver une autre suite qui va simplifier l'expression... Je pense que cela n'aurait pas été très dur mais je trouve ma méthode plus sympa !
(Je sais que je vais être le seul...)
MVMB
(je sais que je ne bois pas, mais je préfère être bourré plutôt qu'être comparé à un cochon ^^)
MVMB- Messages : 13
Date d'inscription : 06/04/2008
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