Exercices Forces Centrales

[FRauscher]

Je reprends la solution de l'exercice 8 donnée ce matin par Perle en utilisant l'énergie mécanique.
Em = +/- G m MT / 2a (selon ellipse ou hyperbole). On pose (vC)² = G MT / R0

Plutôt que de conjecturer la valeur de rmin, on passe par la détermination du paramètre p = m C² / k = R0 (v0 /vC)² (début correction de ce matin). Voici ensuite la méthode énergétique pour e.

Cas 1 : Ellipse : Em = 1/2 m v0² - mG MT / R0 = - G m MT / 2a = - G m MT (1 - e²) / 2p
puisque a = p / (1- e²). On remplace ensuite p par son expression et G MT / R0 par vC² pour trouver :

e² = 1 + (v0 / vC)^4 - 2 (v0 / vC)² = [ 1 - (v0 / vC)² ]² donc e = | 1 - (v0 / vC)² | (sans oublier la valeur absolue !).

Cas 2 : Hyperbole : Em = 1/2 m v0² - mG MT / R0 = + G m MT / 2a = + G m MT (e² -1) / 2p
puisque a = p / (e²- 1). On obtient donc exactement la même équation que dans le cas n°1, ce qui
donne la même équation du second degré pour e donc la même solution e = | 1 - (v0 / vC)² |

Rem 1 : bien entendu, il faut encore que 0 < e < 1 dans le cas 1 et que e > 1 dans le cas 2, ce qui impose des conditions sur le quotient v0 / vC.

Rem 2 : Par le vecteur de Runge Lenz, c'est tellement plus simple...

François Rauscher

[FRauscher]

Retour sur la correction de l'exercice 9...les vecteur sont notés en caractères gras et on notera 0 l'angle théta des coordonnées polaires.

Le vecteur vitesse peut s'écrire : v = v(t) T où T est le vecteur unitaire tangent à la trajectoire. En dérivant par rapport au temps, on obtient l'accélération dans la base de Frenet :

a=dv/dt T + v² / R N où N est le vecteur unitaire normal (orthogonal à T et dirigé vers le centre de courbure) et R le rayon de courbure. Le PFD impose :

m dv/dt T + m v² / R N = - G m MT / r² u_r - a m v² T (1)

Comme v = dr/dt u_r + r d0/dt u₀, on en déduit : T = [ dr/dt u_r + r d0/dt u₀ ] / v.

On projette l'équation (1) sur T et N, en notant w l'angle entre u_r et - N, pour trouver:

dv/dt = - dr / dt x G M_T / r² - a v² = d[ G M_T / r ] / dt - a v² (2)

v² / R = cos(w) x G M_T / r² (3)

Si maintenant, on suppose le mouvement quasi-circulaire, on peut supposer qu'à chaque instant le centre de courbure de la trajectoire est O, le rayon de courbure R = r et l'angle w est petit, donc cos(w) = 1. L'équation (3) devient :

v² = G M_T / r

(on retrouve l'expression classique de la vitesse sur trajectoire circulaire et aussi celle obtenue par projection sur u_r)

Cela étant dit (!!!) on voit bien que l'équation obtenue ce matin en projetant l'équation sur u ₀ était fausse (dv / dt = - a v²) puisqu'il y manquait le terme d[ G M_T / r ] / dt. Or ce terme est positif (!!)puisque r diminue ----> on voit donc bien que la vitesse peut augmenter si ce terme est plus grand que - a v² (et il l'est !).

En conclusion : si on travaille en polaire, ne pas tenir compte de la première équation (sur u ₀) qui est fausse. Heureusement, seule l'expression v² = G M_T / r est utile pour calculer DeltaEm.

Bonne soirée
François Rauscher