Exercices deux points

[FRauscher]

Voici deux exercices sur les systèmes de deux points pour vous entraîner.

Exercice 1
Deux points M1 et M2 isolés possèdent des trajectoires circulaires de rayons respectifs r1 et r2 autour de leur centre d'inertie G (trajectoires dans R*). La période de leur mouvement est T. En supposant que les deux points interagissent selon une force newtonienne en -k/r², déterminer les masses m1 et m2 en fonction de r1, r2, k et T. Note : on pourra utiliser la particule fictive M pour résoudre ce problème (conseillé).

Exercice 2
Deux points M1 et M2 de masses respectives m et 2m sont attachés par un ressort de raideur k et de longeur à vide L0. Le point M1 est suspendu à un plafond par un fil (le ressort pend donc au dessous de M1 et M2 est attaché à son autre extrémité). L'ensemble est placé dans le champ de pesanteur vertical descendant et on définit l'axe Oz (vertical descendant) de sorte qu'à l'équilibre z1éq = 0. Le référentiel terrestre étant supposé galiléen:
1) Déterminer z2éq et zGéq.
2) A l'instant t = 0, on brûle le fil retenant M1. Déterminer zG(t).
3) En appliquant le PFD à la particule fictive M dans R*, déterminer zM(t), puis z1(t) et z2(t).

Note : on pourra redémontrer ce PFD pour M (conseillé) avant de l'appliquer.

François Rauscher